Блочные аппроксимации в задачах теории асимптотического усреднения

В настоящей работе развиваются специальные аналитические методы решения задачи на ячейке в методе асимптотического усреднения Бахвалова, основанные на блочных разбиениях исходной области на более простые односвязные и двухсвязные подобласти. Эти методы обобщают и существенно расширяют область применимости хорошо известного метода наименьших квадратов, который, к сожалению, является эффективным для областей простой геометрии и напрямую неприменим в задаче на ячейке, и метода Треффтца, осуществляющего аппроксимацию решения на системах функций, аналитически точно удовлетворяющих исходному уравнению. В развиваемом блочном методе вопрос аналитического удовлетворения аппроксимирующей системой функций исходному уравнению (и некоторым граничным условиям) является принципиальным моментом, обуславливающим качество метода. В работе применяется специальный математический аппарат для построения необходимых фундаментальных систем функций, точно удовлетворяющих исходному уравнению в каждом блоке. Точный аналитический учет контактных условий на межфазных границах, обеспечиваемый специальной конструкцией аппроксимирующих функций для включений сферической, сфероидальной и цилиндрической формы, позволяет воспроизвести физические микрополя в ячейке с высокой степенью точностью и смоделировать масштабные эффекты, связанные с развитием межфазного слоя около включений.