Распространение локализованных и периодических волн в стержне Миндлина-Германа, погруженном в нелинейно-упругую среду

Ерофеев В.И.1, Леонтьева А.В.2
Институ проблем машиностроения РАН1, ИПМАШ2

Распространение продольных волн в стержне Миндлина-Германа, погруженном в нелинейно-упругую среду, описывается нелинейной системой двух уравнений второго порядка. Система, в свою очередь, сводится к одному уравнению четвертого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. Рассматривая различные случаи соотношения жесткости стержня и жесткости внешней среды, в которую помещен стержень, получаем три предельных случая.
Если жесткость внешней среды существенно превосходит жесткость стержня, то эволюционное уравнение представляет собой уравнение Островского – нелинейное эволюционное уравнение, полученное ранее для описания внутренних волн во вращающемся океане. Уравнение не имеет точных решений, но допускает качественное исследование при равенстве нулю старшей производной. Найдено решение для нелинейных периодических стационарных волн.
Во втором случае, если жесткость внешней среды существенно уступает жесткости стержня, то эволюционным уравнением является уравнение, которое отличается от уравнения Островского отсутствием нелинейности под знаком производной и наличием другой квадратичной нелинейности. Показано, что в этом случае возможно распространение солитонов классического профиля.
В последнем случае, если жесткости внешней среды и стержня имеют один порядок, отмечено, что нелинейные стационарные волны формироваться не могут.